Lineární rovnice s jednou neznámou

Jméno: _______________________________ Datum: _______________

Třída: _________ Hodnocení: _________

Pracuj samostatně a pečlivě. U každé úlohy ukaž postup výpočtu.

Úloha 1 — Doplňování

Doplň chybějící čísla do prázdných políček tak, aby byl postup řešení rovnice správně zapsán.

$$3x + 7 = 22$$

$$3x = 22 - \boxed{\phantom{00}}$$

$$3x = \boxed{\phantom{00}}$$

$$x = \boxed{\phantom{00}} \div 3$$

$$x = \boxed{\phantom{00}}$$

Ověření (dosaď výsledek zpět do rovnice):

$$3 \cdot \boxed{\phantom{00}} + 7 = \boxed{\phantom{00}} \checkmark$$

Úloha 2 — Výběr z možností

Vyber správné řešení rovnice a zakroužkuj písmeno správné odpovědi. Pozor — správná je vždy právě jedna možnost!

a) $\quad 5x - 3 = 17$

A) $x = 2$ B) $x = 4$ C) $x = 14$ D) $x = 7$

b) $\quad 2(x + 4) = 18$

A) $x = 5$ B) $x = 7$ C) $x = 11$ D) $x = 13$

c) $\quad -3x + 9 = 0$

A) $x = -3$ B) $x = 0$ C) $x = 3$ D) $x = 6$

Úloha 3 — Otevřená otázka

Vyřeš rovnici podrobným postupem (ukaž všechny kroky) a výsledek ověř dosazením.

$$4x - 5 = 2x + 11$$

Postup:

Výsledek: $x =$ _______

Ověření:

Úloha 4 — Doplňování

Níže jsou uvedeny rovnice a jejich (neúplné) postupy řešení. Doplň chybějící výrazy na místa označená otazníkem.

a) $\quad 6x + 4 = -8$

$$6x = {?}$$

$$x = {?}$$

b) $\quad \dfrac{x}{4} + 3 = 7$

$$\dfrac{x}{4} = {?}$$

$$x = {?}$$

c) $\quad 3(2x - 1) = 15$

$$6x - {?} = 15$$

$$6x = {?}$$

$$x = {?}$$

Úloha 5 — Výběr z možností

U každé z následujících rovnic rozhodni, zda tvrzení o řešení je PRAVDA nebo LŽ. Zakroužkuj správnou možnost a svůj výběr zdůvodni krátkým výpočtem.

a) Řešením rovnice $\;7x - 14 = 0\;$ je $\;x = 2$.

PRAVDA / LŽ

Zdůvodnění: _______________________________________________

b) Řešením rovnice $\;-4x + 12 = 20\;$ je $\;x = -2$.

PRAVDA / LŽ

Zdůvodnění: _______________________________________________

c) Řešením rovnice $\;3x + 1 = 2x - 5\;$ je $\;x = -6$.

PRAVDA / LŽ

Zdůvodnění: _______________________________________________

Úloha 6 — Otevřená otázka (slovní úloha)

Přečti si zadání, sestav rovnici a vyřeš ji. Odpověď napiš celou větou.

> Lucie a Martin sbírají body ve školní soutěži. Lucie má zatím 23 bodů. Martin má o 5 bodů méně než dvojnásobek Luciina počtu bodů. Kolik bodů má Martin?

(Tip: Nejdříve sestav výraz pro Martinův počet bodů pomocí proměnné nebo přímým dosazením, poté ověř pomocí rovnice.)

Sestavená rovnice:

Postup řešení:

Odpověď: ________________________________________________________________

Úloha 7 — Otevřená otázka

Vyřeš soustavu dvou rovnic — nejprve každou zvlášť — a poté seřaď jejich řešení od nejmenšího po největší.

$$\text{Rovnice I:} \quad \frac{x+3}{2} = 5$$

$$\text{Rovnice II:} \quad 5(x - 2) = 3x + 4$$

Řešení rovnice I:

$$x_1 = \text{\_\_\_\_\_}$$

Řešení rovnice II:

$$x_2 = \text{\_\_\_\_\_}$$

Seřazení výsledků od nejmenšího: ________________________________

Úloha 8 — Otevřená otázka (úloha s chybou)

Níže je uveden žákův postup řešení rovnice. Najdi chybu, vysvětli, kde žák pochybil, a napiš správné řešení.

Zadaná rovnice: $\quad 2x + 6 = 4x - 2$

Žákův (chybný) postup:

$$2x + 6 = 4x - 2$$

$$2x - 4x = -2 + 6 \quad \longleftarrow \text{ žák přesunul členy na strany}$$

$$-2x = 4$$

$$x = -2$$

Kde je chyba?

___________________________________________________________________________

Správný postup:

Správný výsledek: $x =$ _______

Ověření:

Řešení

Řešení jsou určena pro učitele nebo pro sebekontrolu žáků po odevzdání.

Řešení úlohy 1

$$3x + 7 = 22$$
$$3x = 22 - \mathbf{7}$$
$$3x = \mathbf{15}$$
$$x = \mathbf{15} \div 3$$
$$x = \mathbf{5}$$

Ověření: $3 \cdot 5 + 7 = 15 + 7 = \mathbf{22}$ ✓

Řešení úlohy 2

a) $5x - 3 = 17 \;\Rightarrow\; 5x = 20 \;\Rightarrow\; x = 4$ → B)

b) $2(x+4) = 18 \;\Rightarrow\; 2x + 8 = 18 \;\Rightarrow\; 2x = 10 \;\Rightarrow\; x = 5$ → A)

c) $-3x + 9 = 0 \;\Rightarrow\; -3x = -9 \;\Rightarrow\; x = 3$ → C)

Řešení úlohy 3

$$4x - 5 = 2x + 11$$
$$4x - 2x = 11 + 5$$
$$2x = 16$$
$$x = 8$$

Ověření: Levá strana: $4 \cdot 8 - 5 = 32 - 5 = 27$. Pravá strana: $2 \cdot 8 + 11 = 16 + 11 = 27$. ✓

Řešení úlohy 4

a)
$$6x + 4 = -8 \;\Rightarrow\; 6x = \mathbf{-12} \;\Rightarrow\; x = \mathbf{-2}$$

b)
$$\frac{x}{4} + 3 = 7 \;\Rightarrow\; \frac{x}{4} = \mathbf{4} \;\Rightarrow\; x = \mathbf{16}$$

c)
$$3(2x-1) = 15 \;\Rightarrow\; 6x - \mathbf{3} = 15 \;\Rightarrow\; 6x = \mathbf{18} \;\Rightarrow\; x = \mathbf{3}$$

Řešení úlohy 5

a) $7x - 14 = 0 \;\Rightarrow\; 7x = 14 \;\Rightarrow\; x = 2$ → PRAVDA ✓

b) $-4x + 12 = 20 \;\Rightarrow\; -4x = 8 \;\Rightarrow\; x = -2$ → PRAVDA ✓

c) $3x + 1 = 2x - 5 \;\Rightarrow\; x = -6$ → PRAVDA ✓
Ověření: $3 \cdot (-6) + 1 = -17$; $\;2 \cdot (-6) - 5 = -17$ ✓

Řešení úlohy 6

Martin má $\;2 \cdot 23 - 5 = 46 - 5 = \mathbf{41}\;$ bodů.

Sestavená rovnice (pro ověření): $\;m = 2 \cdot 23 - 5$

Výpočet: $m = 46 - 5 = 41$

Odpověď: Martin má 41 bodů.

Řešení úlohy 7

Rovnice I:
$$\frac{x+3}{2} = 5 \;\Rightarrow\; x + 3 = 10 \;\Rightarrow\; x__1 = 7$$

Rovnice II:
$$5(x-2) = 3x + 4$$
$$5x - 10 = 3x + 4$$
$$5x - 3x = 4 + 10$$
$$2x = 14$$
$$x_2 = 7$$

Seřazení výsledků: $x_1 = 7,\; x_2 = 7$ → obě rovnice mají stejné řešení: 7

Řešení úlohy 8

Chyba žáka: Při přesunu členu $-2$ z pravé strany na levou stranu žák změnil správně znaménko ($-2$ se stalo $+6$... ale pozor — žák ve skutečnosti přesunul $+6$ z levé strany na pravou a nezměnil jeho znaménko správně). Konkrétně: člen $+6$ přešel na pravou stranu, kde se měl stát $-6$, ale žák zapsal $+6$. Výsledkem je, že pravá strana měla být $-2 - 6 = -8$, nikoli $-2 + 6 = 4$.

Správný postup:
$$2x + 6 = 4x - 2$$
$$2x - 4x = -2 - 6$$
$$-2x = -8$$
$$x = 4$$

Ověření: Levá strana: $2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$. Pravá strana: $4 \cdot 4 - 2 = 16 - 2 = 14$. ✓

Správný výsledek: $x = \mathbf{4}$