Pracovní list: Obvod a obsah — čtverec, obdélník, trojúhelník
Předmět: Matematika | Ročník: 6. | Téma: Obvod a obsah rovinných útvarů
Jméno: _______________________________ Datum: _______________
Třída: _______________ Hodnocení: _______________
> Vzorce, které budeš potřebovat:
>
> - Čtverec: obvod O = 4a, obsah S = a²
> - Obdélník: obvod O = 2(a + b), obsah S = a · b
> - Trojúhelník: obvod O = a + b + c, obsah S = (a · v) / 2
Úlohy
Úloha 1 — Doplňování vzorců
Doplň chybějící části vzorců pro obvod a obsah rovinných útvarů.
| Tvar | Vzorec pro obvod | Vzorec pro obsah |
|---|---|---|
| Čtverec | O = 4 · ___ | S = ___² |
| Obdélník | O = 2 · ( ___ + ___ ) | S = ___ · ___ |
| Trojúhelník | O = ___ + ___ + ___ | S = ( ___ · v ) / ___ |
Úloha 2 — Výběr z možností
U každého příkladu vyber správnou odpověď a zakroužkuj ji.
a) Čtverec má stranu délky 7 cm. Jaký je jeho obvod?
- A) 14 cm
- B) 28 cm
- C) 49 cm
- D) 21 cm
b) Obdélník má strany a = 6 cm a b = 4 cm. Jaký je jeho obsah?
- A) 20 cm²
- B) 10 cm²
- C) 24 cm²
- D) 48 cm²
c) Trojúhelník má základnu 10 cm a výšku 6 cm. Jaký je jeho obsah?
- A) 60 cm²
- B) 30 cm²
- C) 16 cm²
- D) 32 cm²
_Místo pro poznámky k výpočtům:_
_______________________________________________
Úloha 3 — Výpočet obvodu a obsahu čtverce
Zahradník chce ohradit čtvercový záhon. Délka jedné strany záhonu je 9 m.
a) Vypočítej obvod záhonu. (Kolik metrů pletiva zahradník potřebuje?)
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
b) Vypočítej obsah záhonu. (Kolik m² má záhon?)
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
c) Pletivo stojí 85 Kč za metr. Kolik zaplatí zahradník celkem za oplocení záhonu?
_______________________________________________
_______________________________________________
Úloha 4 — Výpočet s obdélníkem
Třída chce vymalovat nástěnku ve tvaru obdélníku. Nástěnka má délku 120 cm a šířku 80 cm.
a) Vypočítej obvod nástěnky.
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
b) Vypočítej obsah nástěnky v cm² a poté výsledek převeď na m².
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
c) Kolik cm² papíru zbyde, pokud žáci na nástěnku nalepí obdélníkový plakát o délce 60 cm a šířce 40 cm?
_______________________________________________
_______________________________________________
Úloha 5 — Trojúhelník v praxi
Na obrázku níže je trojúhelník ABC. Jeho strany mají délky: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. Výška na stranu a je v = 6 cm.
```
B
/|
/ |
c / | b
/ |
/ |
A-----C
a
```
a) Vypočítej obvod trojúhelníku ABC.
_______________________________________________
_______________________________________________
b) Vypočítej obsah trojúhelníku ABC.
_______________________________________________
_______________________________________________
c) Je tento trojúhelník pravoúhlý? Jak to můžeš ověřit? Napiš stručné zdůvodnění.
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Úloha 6 — Doplňování neznámých stran
Doplň chybějící hodnotu do tabulky. Ukaž výpočet vždy pod tabulkou.
| Tvar | Zadané hodnoty | Hledáme | Výsledek |
|---|---|---|---|
| Čtverec | O = 36 cm | délka strany a = ? | _______ |
| Obdélník | a = 5 cm, S = 40 cm² | délka strany b = ? | _______ |
| Trojúhelník | a = 7 cm, b = 9 cm, O = 23 cm | délka strany c = ? | _______ |
Výpočty:
Čtverec:
_______________________________________________
_______________________________________________
Obdélník:
_______________________________________________
_______________________________________________
Trojúhelník:
_______________________________________________
_______________________________________________
Úloha 7 — Otevřená úloha: Porovnej tvary
Marek nakreslil dva různé tvary se stejným obvodem 24 cm:
- Tvar A: čtverec se stranou 6 cm
- Tvar B: obdélník se stranami 9 cm a 3 cm
a) Ověř, že oba tvary mají skutečně obvod 24 cm. Ukaž výpočet.
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
b) Vypočítej obsah obou tvarů.
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
c) Který tvar má větší obsah? O kolik cm² je jeho obsah větší?
_______________________________________________
_______________________________________________
d) Co si myslíš — platí obecně, že tvary se stejným obvodem mají vždy stejný obsah? Napiš svou odpověď vlastními slovy.
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Úloha 8 — Slovní úloha: Plánování pokoje
Lucčin pokoj má tvar obdélníku o rozměrech 4 m × 5 m. Lucka chce:
a) Vypočítej obsah celého pokoje v m².
_______________________________________________
_______________________________________________
b) Vypočítej obsah koberce. Kolik m² podlahy zůstane bez koberce?
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
c) Vypočítej obsah trojúhelníkového panelu v cm².
_______________________________________________
_______________________________________________
d) Lucka chce celý pokoj (bez koberce) vyložit dlaždicemi. Jedna dlaždice má tvar čtverce se stranou 50 cm. Kolik dlaždic bude potřebovat? (Nezapomeň převést jednotky.)
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Řešení
Řešení úlohy 1
| Tvar | Vzorec pro obvod | Vzorec pro obsah |
|---|---|---|
| Čtverec | O = 4 · a | S = a² |
| Obdélník | O = 2 · ( a + b ) | S = a · b |
| Trojúhelník | O = a + b + c | S = ( a · v ) / 2 |
Řešení úlohy 2
a) Správná odpověď: B) 28 cm
Výpočet: O = 4 · 7 = 28 cm
b) Správná odpověď: C) 24 cm²
Výpočet: S = 6 · 4 = 24 cm²
c) Správná odpověď: B) 30 cm²
Výpočet: S = (10 · 6) / 2 = 60 / 2 = 30 cm²
Řešení úlohy 3
a) O = 4 · 9 = 36 m — zahradník potřebuje 36 m pletiva.
b) S = 9² = 81 m² — záhon má obsah 81 m².
c) Cena = 36 · 85 = 3 060 Kč
Řešení úlohy 4
a) O = 2 · (120 + 80) = 2 · 200 = 400 cm
b) S = 120 · 80 = 9 600 cm²
Převod: 9 600 cm² = 0,96 m²
(1 m² = 10 000 cm²; 9 600 / 10 000 = 0,96)
c) Obsah plakátu: S = 60 · 40 = 2 400 cm²
Zbývající plocha: 9 600 - 2 400 = 7 200 cm²
Řešení úlohy 5
a) O = 8 + 6 + 10 = 24 cm
b) S = (8 · 6) / 2 = 48 / 2 = 24 cm²
c) Ano, trojúhelník je pravoúhlý. Lze ověřit pomocí Pythagorovy věty:
a² + b² = c²
8² + 6² = 64 + 36 = 100 = 10²
Rovnost platí, trojúhelník je tedy pravoúhlý (pravý úhel leží u vrcholu C).
Řešení úlohy 6
Čtverec — délka strany a:
O = 4 · a → 36 = 4 · a → a = 36 / 4 = 9 cm
Obdélník — délka strany b:
S = a · b → 40 = 5 · b → b = 40 / 5 = 8 cm
Trojúhelník — délka strany c:
O = a + b + c → 23 = 7 + 9 + c → c = 23 - 16 = 7 cm
Řešení úlohy 7
a) Ověření obvodů:
- Tvar A (čtverec): O = 4 · 6 = 24 cm ✓
- Tvar B (obdélník): O = 2 · (9 + 3) = 2 · 12 = 24 cm ✓
b) Obsahy:
- Tvar A: S = 6² = 36 cm²
- Tvar B: S = 9 · 3 = 27 cm²
c) Větší obsah má Tvar A (čtverec). Je větší o: 36 - 27 = 9 cm².
d) Ne, tvary se stejným obvodem nemusejí mít stejný obsah. Z příkladu vidíme, že čtverec a obdélník mají shodný obvod 24 cm, ale jejich obsahy jsou různé (36 cm² a 27 cm²). Obecně platí, že ze všech obdélníků se stejným obvodem má největší obsah čtverec.
Řešení úlohy 8
a) Obsah pokoje: S = 4 · 5 = 20 m²
b) Obsah koberce: S = 2² = 4 m²
Podlaha bez koberce: 20 - 4 = 16 m²
c) Obsah panelu: S = (60 · 40) / 2 = 2 400 / 2 = 1 200 cm²
d) Plocha k vyložení dlaždicemi: 16 m²
Převod: 16 m² = 160 000 cm²
Obsah jedné dlaždice: 50 · 50 = 2 500 cm²
Počet dlaždic: 160 000 / 2 500 = 64 dlaždic