Pythagorova věta — Pracovní list
Jméno: _______________________________ Datum: _______________
Třída: _____________ Hodnocení: _______________
> 📐 Připomenutí: V pravoúhlém trojúhelníku platí: a² + b² = c²
> kde a, b jsou odvěsny a c je přepona (nejdelší strana, naproti pravému úhlu).
Úlohy
Úloha 1
V pravoúhlém trojúhelníku jsou dány dvě odvěsny: a = 6 cm a b = 8 cm.
Vypočítej délku přepony c.
Postup:
Výsledek: c = _______________
Úloha 2
V pravoúhlém trojúhelníku je přepona c = 13 cm a jedna odvěsna a = 5 cm.
Vypočítej délku druhé odvěsny b. Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa.
Postup:
Výsledek: b = _______________
Úloha 3
Trojúhelník má strany délek 9 cm, 12 cm a 15 cm.
Rozhodni, zda se jedná o pravoúhlý trojúhelník. Svou odpověď zdůvodni výpočtem.
Postup:
Závěr: _________________________________________________
Úloha 4
Vypočítej délku úhlopříčky obdélníku, jehož strany mají délky 5 cm a 11 cm.
Výsledek zaokrouhli na jedno desetinné místo.
(Tip: Úhlopříčka obdélníku je přeponou pravoúhlého trojúhelníku.)
Postup:
Výsledek: d = _______________
Úloha 5
Žebřík délky 5 m je opřený o svislou zeď. Pata žebříku stojí na zemi 1,8 m od zdi.
V jaké výšce se dotýká žebřík zdi? Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa.
(Nakresli si náčrtek — pomůže to!)
Náčrtek:
Postup:
Výsledek: výška = _______________
Úloha 6
Čtverec má úhlopříčku délky 10 cm.
Vypočítej délku strany čtverce. Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa.
(Tip: Obě strany čtverce jsou stejně dlouhé a jsou odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku.)
Postup:
Výsledek: a = _______________
Úloha 7
Dva cyklisté vyjeli ve stejný čas ze stejného místa. Jeden jel na sever rychlostí 12 km/h, druhý na západ rychlostí 9 km/h.
Jak daleko od sebe budou po 2 hodinách jízdy?
(Tip: Nejprve vypočítej, jakou vzdálenost každý ujel, pak použij Pythagorovu větu.)
Postup:
Výsledek: vzdálenost = _______________
Úloha 8
Zahradník chce zjistit, zda má roh záhonu tvar pravého úhlu. Odměřil od rohu 60 cm podél jedné strany a 80 cm podél druhé strany. Vzdálenost mezi konci obou úseků změřil jako 100 cm.
Je roh pravý? Zdůvodni výpočtem a vysvětli, jak by zahradník mohl tuto metodu prakticky využít při zakládání záhonu.
Postup a zdůvodnění:
Závěr: _________________________________________________
Řešení
Řešení úlohy 1
Hledáme přeponu c.
c² = a² + b²
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = 10 cm
Řešení úlohy 2
Hledáme odvěsnu b.
b² = c² − a²
b² = 13² − 5²
b² = 169 − 25
b² = 144
b = 12 cm
(V tomto případě vychází výsledek přesně — jde o tzv. pythagorejskou trojici 5, 12, 13.)
Řešení úlohy 3
Ověřujeme, zda platí Pythagorova věta.
Největší strana (přepona) by musela být 15 cm.
15² = 9² + 12²?
225 = 81 + 144?
225 = 225 ✓
Závěr: Ano, jedná se o pravoúhlý trojúhelník, protože rovnost platí. (Pythagorejská trojice 9, 12, 15 — trojnásobek trojice 3, 4, 5.)
Řešení úlohy 4
Hledáme úhlopříčku d (přeponu).
d² = a² + b²
d² = 5² + 11²
d² = 25 + 121
d² = 146
d = √146
d ≈ 12,1 cm
Řešení úlohy 5
Žebřík = přepona c = 5 m, vzdálenost paty od zdi = odvěsna a = 1,8 m. Hledáme výšku b.
b² = c² − a²
b² = 5² − 1,8²
b² = 25 − 3,24
b² = 21,76
b = √21,76
b ≈ 4,66 m
Žebřík se dotýká zdi ve výšce přibližně 4,66 m.
Řešení úlohy 6
Čtverec se stranou a, úhlopříčka d = 10 cm. Obě strany jsou stejně dlouhé (odvěsny).
d² = a² + a²
10² = 2a²
100 = 2a²
a² = 50
a = √50
a ≈ 7,07 cm
Řešení úlohy 7
Nejprve vypočítáme vzdálenosti ujeté za 2 hodiny.
Cyklista jedoucí na sever: 12 km/h × 2 h = 24 km
Cyklista jedoucí na západ: 9 km/h × 2 h = 18 km
Protože jedou kolmo na sebe (sever × západ), tvoří jejich trasy odvěsny pravoúhlého trojúhelníku.
d² = 24² + 18²
d² = 576 + 324
d² = 900
d = √900
d = 30 km
Po dvou hodinách jsou cyklisté od sebe vzdáleni 30 km.
Řešení úlohy 8
Ověřujeme, zda 60, 80, 100 tvoří pythagorejskou trojici.
Největší strana by musela být přepona: 100 cm.
100² = 60² + 80²?
10 000 = 3 600 + 6 400?
10 000 = 10 000 ✓
Závěr: Ano, roh je pravý úhel, protože Pythagorova věta platí.
Praktické využití: Zahradník může tuto metodu (odměření trojice 3 : 4 : 5 nebo jejích násobků, zde 60 : 80 : 100) používat vždy, když potřebuje zkontrolovat nebo vytvořit pravý úhel bez úhloměru — například při zakládání záhonu, stavbě plotu nebo terasy. Stačí mu pouze metr a tato znalost.
Pracovní list — Pythagorova věta | 8. ročník | Matematika